Исследуйте с помощью excel точки разрыва следующих функций
Обновлено: 07.07.2024
Построим график функции . Данная функция имеет разрыв в точка . Эти точки являются вертикальными асимптотами, их необходимо отобразить на графике.
Графики функции асимптот: и .
Построение графика функции осуществим на отрезках [-10;-2,2] и [-2,1;2,1] и [2,2;10] с шагом 0,2.
Процесс построения (на рисунке 15 приведен весь результат получения рядов данных для построения графика функции и асимптот):
1. В ячейку B2 занесем шаг изменения аргумента функции y(x).
2. Начальное значение аргумента занесем в ячейку A5.
3. В ячейку A6 занесем правило заполнения - формулу =A5+$B$2.
4. Воспользуемся функцией автозаполнения и получим изменение аргумента от -10 до 10.
5. В ячейку В5 занесем формулу для расчета функции: =A5/((A5^2)-5) и используем функцию автозаполнения до ячейки В105.
6. В ячейки С5 и D5 занесем формулы для асимптот и воспользуемся также функцией автозаполнения.
На основании полученных данных построим график функции для трех диапазонов изменения аргумента и два графика вертикальных асимптот:
1. Выберем тип диаграммы - «Точечная с гладкими кривыми и маркерами» (см.Рисунок ).
2. На пустой график необходимо нажать правой кнопкой мыши и выбрать пункт «Выбрать данные».
3. В окне «Выбор источника данных» воспользуемся кнопкой «Добавить». В результате откроется окно «Изменение ряда» (Рисунок ), в котором необходимо указать данные для функций при изменении аргумента от -10 до 2,3:
a. В первой строке указать имя первого ряда, нажав на кнопку ,
b. щелкнуть мышью по названию ряда , т.е. по ячейке B4 или ввести в окно «Изменение ряда» абсолютную ссылку =Лист1!$B$4,
c. Нажать на кнопку , имя ряда отобразится справа от кнопки ,
d. Во второй строке указать значения аргумента, нажав на кнопку и выделив диапазон A5-A43,
e. Нажать на кнопку , значения ряда отобразятся справа от кнопки ,
f. В третьей строке указать значение функции (предварительно убрав все имевшиеся в ней символы), нажав на кнопку и выделив диапазон В5-В43,
g. Нажать на кнопку , значения функции отобразятся справа от кнопки ,
h. Завершить ввод данных нажатием на кнопку «ОК».
4. Для добавления на графике значений графика функции при изменении аргумента на интервалах [-2.2;2.2] и [2.2;10], а так же вертикальных асимптот необходимо воспользоваться кнопкой «Добавить» в окне «Выбор источника данных».
5. Изменить название графика, название осей, максимальное и минимальное значение оси абсцисс и оси ординат.
6. Результат представлен на рисунке 18.
Задания №2,3
С помощью пакета Microsoft Excel построить график функций, приведенные в Приложении 3,4 соответственно варианту. Порядок расчета и результат оформить в виде отчета, содержащего следующие пункты:
a. Первый лист: Титульный лист – пример оформления см в приложении 7,
b. Привести текст задания,
c. Провести исследование функции, включающее в себя
i. Область определения функции, выделение особых точек-точек разрыва,
ii. Проверка наличия вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения,
iii. Нахождение точек пересечения с осями координат,
iv. Установить является функция четной или нечетной[3],
v. Установить, является функция периодической или нет[4] (для тригонометрической функции),
vi. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (убывание и возрастание функции),
vii. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости, найти наклонные асимптоты функции,
На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.
Что будет дальше?
Общая схема исследования
Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены "горбы" выпуклости, где не определены значения и т.п.
А уже на основании этих "особенностей" и строится макет графика - картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).
Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции - объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.
Алгоритм
- Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
- Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
- Найти точки пересечения с осями координат.
- Установить, является ли функция чётной или нечётной.
- Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
- Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
- Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
- Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
- Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
- Построить график и асимптоты.
В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.
Схема исследования в формате pdf: скачать.
Полный пример решения онлайн
Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac. $$
1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$
2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ - вертикальная асимптота.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.
Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:
Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.
Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:
5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.
6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y'=0$):
Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y' \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.
При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y' >0$, функция возрастает на данных промежутках.
При этом $x=-2$ - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).
Найдем значения функции в этих точках:
Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.
7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:
Приравняем вторую производную к нулю:
Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y'' \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y'' \lt 0$, то есть функция выпуклая.
8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:
Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.
9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.
10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):
Примеры решений по исследованию функции
Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!
Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.
Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.
Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.
Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.
Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.
Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически
Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg \phi$.
Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.
Задача 11. Провести полное исследование периодической функции $y = \cos 3x – 2 \sin 6x$ и построить её график.
Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.
Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.
Как построить график онлайн?
Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).
Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?
Графический калькулятор Desmos
При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.
Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!
Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):
И такой график получается в итоге:
Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).
Другие сайты
Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:
- Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой). Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл. При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа. Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет
Больше знаний: теория и практика
Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень "съедобно" даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.
Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.
Решебник
Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена - около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!
Полезные видео-ролики
Классный старый научно-популярный фильм "Математика. Функции и графики". Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.
Аннотация к презентации
Презентация для студентов на тему "График функции с точкой разрыва в Excel" по информатике. Состоит из 12 слайдов. Размер файла 2.13 Мб. Каталог презентаций в формате powerpoint. Можно бесплатно скачать материал к себе на компьютер или смотреть его онлайн с анимацией.
Содержание
График функции с точкой разрыва
Выполнил: ст.гр.СБ15-41Б Троицкая Д.Г. Проверил: Курбаковских О.Д.
Построить график функции: у=1/х, где х в диапазоне от -5 до 5 с шагом 0,5.
Создаем два столбца, в одном значение аргумента (Х), а в другом - функция (у). Заполняем значение аргумента (х), начинаем с -5 потом -4,5. выделяем эти аргументы и растягиваем до 5.
Найдем значения (у), для этого в ячейке С3 вызываем функцию ЕСЛИ.
И растягиваем : Появилась точка разрыва:
Выделяем диапазон до точки разрыва и вставляем точечную диаграмму:
Нажимаем правой кнопкой и выбираем данные
Нажимаем кнопку «добавить»
Вводим значения по оси (х).
Вместо значения (у), подставляем данные из таблицы после точки разрыва.
Вот такой получается график функции с точкой разрыва.
Похожие презентации
Вставьте данный скрипт на свой сайт.
Мы будем благодарны если вы поможете сделать сайт лучше и оставите отзыв или предложение по улучшению.
1.Цель работы : Приобрести исследования функции на непрерывность .
2 Литература : Н.В. Богомолов Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа
В.С .Шипачев Задачник по высшей математике. М.; Высшая школа
Исследовать на непрерывность следующие функции:
в точках x =1 и x =-1
б) f ( x )=
в точках x =0 и x =-1
г) f ( x )=
в точке x =0 , x =-1, x =-3
в) f ( x )=
в точках x =-1, x =1, x =2
4. Теоретические сведения, необходимые для выполнения задания.
Непрерывность функции в точке.
Пусть функция y = f ( x ) определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.
= f ( ).
Согласно данному определению непрерывность функции f ( x ) в точке означает выполнение следующих трех условий:
1) функция f ( x ) определена в точке (т.е. существует f ( ) );
2) функция f ( x ) имеет предел в точке ;
3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке.
Пример1. Исследовать непрерывность в точке =0 заданных функций:
а) y =
б) y =
в) y =
u ) y =
Решение . а) В точке функция y = f ( x ) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности - существование f (0).
б) В точке функция y = f ( x ) не является непрерывной - первое условие непрерывности выполнено f (0) существует( f (0)=1), но нарушено второе условие - отсутствует (точнее говоря, здесь существуют односторонние пределы функции слева =-1 и справа x →0 не существует).
в) В точке функция y = f ( x ) не является непрерывной – первые два условия непрерывности выполнены - существуют f (0) ( f (0)=1) и конечный предел = 0, но нарушено третье основное условие ≠ f ( ).
г) В точке функция y = f ( x ) функция непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности - = f (0)=0.
Точки разрыва функции и их классификация.
Точка называется точкой разрыва функции ), если функция в точке не является непрерывной ( т.е. для точки нарушаются условия непрерывности).
Таким образом, если точка разрыва функции ), то в ней:
- либо ) не определена;
- либо не существует;
- ≠ f ( ) .
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции y = f ( x ), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. = А и = В. При этом:
а) если А=В, то точка называется точкой устранимого разрыва;
б) если А≠В, то точка называется точкой конечного разрыва.
Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции y = f ( x ), если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
а) =0 точка разрыва второго рода функция y = f ( x ) ;
б) =0 точка разрыва первого рода функция y = f ( x ), а, именно, - точка конечного разрыва ;
в) =0 точка разрыва первого рода функция y = f ( x ), а, именно, - точкой устранимого разрыва .
Читайте также: